(本小题满分14分)
已知函数在
上有定义,对任意实数
和任意实数
,都有
.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)证明(其中k和h均为常数);
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的时,设
,讨论
在
内的单调性.
(Ⅰ)证明:见解析;(Ⅱ)
(Ⅲ)在区间
内单调递减, 在区间(
)内单调递增.
【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识,考查运用数学知识解决问题及推理的能力。
(1)对于任意的a>0,,均有
①在①中取
(2) 令时,∵
,∴
,则
而时,
,则
而, ∴
,即
成立
赋值法得到结论。
(3)由(Ⅱ)中的③知,当时,
,
分析导数得到单调区间。
(Ⅰ)证明:对于任意的a>0,,均有
①
在①中取
∴ ②
(Ⅱ)证法一:当时,由①得
取,则有
③
当时,由①得
取,则有
④
综合②、③、④得;
证法二:
令时,∵
,∴
,则
而时,
,则
而, ∴
,即
成立
令,∵
,∴
,则
而时,
,则
即成立。综上知
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)中的③知,当时,
,
从而
又因为k>0,由此可得
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
↘ |
极小值2 |
↗ |
所以在区间
内单调递减,在区间(
)内单调递增。
解法2:由(Ⅱ)中的③知,当时,
,
设 则
又因为k>0,所以
(i)当
;
(ii)当
所以在区间
内单调递减, 在区间(
)内单调递增.
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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