Question

求与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1共渐近线且过A(2

3

，-3)点的双曲线方程及离心率．

Answer 1

分析：根据题意，设双曲线方程为：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)，将A点坐标代入可得λ=-

1

4

，代入所设方程再化成标准方程即可．再由所得双曲线的标准方程，不难求出双曲线的离心率．

解答：解：∵所求双曲线与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1共渐近线
∴设双曲线方程为：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)（3分）
又∵点A(2

3

，-3)在双曲线上，∴λ=

12

16

-

9

9

=-

1

4

．…（8分）
可得所求双曲线方程为：

x2

16

-

y2

9

=-

1

4

，
化成标准形式，得

y2

9 4

-

x2

4

=1，从而a²=

9

4

，c²=

9

4

+4=

25

4

，
因此，离心率满足e²=

25 4

9 4

=

25

9

，解之得e=

5

3

．…（12分）

点评：本题给出双曲线与已知双曲线共渐近线且过已知点，求双曲线的方程并求离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．