Question

关于x的方程a2x+(1+

1

m

)ax+1=0 (a＞0，a≠1)有解，则m的取值范围是（　　）

A．[- 1 3 ，0)

B．[- 1 3 ，0)∪(0，1]

C．(-∞，- 1 3 ]

D．[1，+∞）

Answer 1

令t=a^x，则原方程化为：
t²+（1+

1

m

）t+1=0，这是个关于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根据指数函数（或是幂函数）的定义，必有t=a^x＞0，
∴此关于t的一元二次方程必然要存在实根，且实根无论个数如何，都必须使正的
方程有实根的条件是：
△=（1+

1

m

）²-4≥0
1+

2

m

+（

1

m

）²-4≥0
3-

2

m

-（

1

m

）²≤0
m作为分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式两侧同时乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-

1

3

≤m≤1   ①
方程具有正实根的条件是：
t₁+t₂=-（1+

1

m

）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子显然成立，上面的不等式进一步化简有：

m+1

m

＜0
＜=＞-1＜m＜0   ②
取①，②的交集，就能得到m的取值范围是：
-

1

3

≤m＜0
故选A．