Question

9．关于x的不等式$\frac{{（m-2）{x^2}+2（m-2）x-4}}{{{x^2}-x+2}}＜0$对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据不等式恒成立，转化为不等式恒成立问题，结合一元二次不等式与判别式△的关系进行求解即可．

解答 解：∵${x^2}-x+2={（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$…（2分）
故只需（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立．…（4分）
①当m-2=0即m=2时，-4＜0恒成立，∴m=2…（6分）
②当m-2≠0即m≠2时，由二次函数图象可知，
只需$\left\{{\begin{array}{l}{m-2＜0}\\{△＜0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜2}\\{-2＜m＜2}\end{array}}\right.$…（10分）
∴-2＜m＜2…（11分）
综上，m的取值范围是（-2，2]…（12分）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件转化为不等式恒成立是解决本题的关键．