Question

3．在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）设E是棱PD上一点，且PE=$\frac{1}{3}$PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能证明平面PCD⊥平面PAC．
（2）求出$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），利用向量法能求出异面直线AE与PB所成的角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A-xyz．
∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°，∴∠PBA=60°．
∴PA=ABtan60°=$\sqrt{3}AB$．
取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，2，0）．
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$=-1+1+0=0，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CD}$=0．
∴AC⊥CD，AP⊥CD，
∵AC∩AP=A，∴CD⊥平面PAC．
又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．
解：（2）∵$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OP}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PD}$=（0，0，$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{3}$（0，2，-$\sqrt{3}$）=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），∴$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
又$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{PB}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PB}|}$=-$\frac{3}{4}$．
∴异面直线AE与PB所成的角的余弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．