Question

（2013•海淀区二模）已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0，  -

1

2

)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=

3

，b=1，从而可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S_△AOB的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
∴a=

3

，b=1，椭圆M的方程为：

x2

3

+y²=1…4分
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为AB的垂直平分线经过点（0，-

1

2

），显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x₁=-x₂，y₁=y₂，
所以S_△AOB=

1

2

|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•

1- x12 3

=

x12(1- x12 3 )

=

1 3 x12(1-x12)

，
∵

x12(3-x12)

≤

x12+(3-x12)

2

=

3

2

，
∴S_△AOB≤

3

2

，当且仅不当|x₁|=

6

2

时，S_△AOB取得最大值为

3

2

…7分
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，
所以

y=kx+t x2 3 +y2=1

，代入得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
当△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有两个不同的实数解；
又x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

…8分
所以

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，又

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，化简得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原点到直线的距离为d=

|t|

k2+1

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
所以S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

|t|

k2+1

•

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
化简得：S_△AOB=

1

4

3(4t-t2)

…12分
∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±

7 3

时，S_△AOB取得最大值为

3

2

．
综上，S_△AOB取得最大值为

3

2

…14分

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．