Question

（2012•顺河区一模）设函数f（x）=|2x-m|+4x．
（I）当m=2时，解不等式：f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}，求m的值．

Answer 1

分析：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①

x≥1 2x-2+4x≤1

，或 ②

x＜1 2-2x+4x≤1

，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由f（x）=

6x-m ，  x≥ m 2 2x+m ， x＜ m 2

，可得连续函数f（x） 在R上是增函数，故有f（-2）=2，分当

m

2

≥-2和当

m

2

＜-2两种情况，分别求出m的值，即为所求．

解答：解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x-2|+4x，由不等式f（x）≤1 可得 ①

x≥1 2x-2+4x≤1

，或 ②

x＜1 2-2x+4x≤1

．
解①可得x∈∅，解②可得x≤-

1

2

，故不等式的解集为 {x|x≤-

1

2

 }．
（Ⅱ）∵f（x）=

6x-m ，  x≥ m 2 2x+m ， x＜ m 2

，连续函数f（x） 在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}，
故f（-2）=2，当

m

2

≥-2时，有2×（-2）+m=2，解得 m=6．
当

m

2

＜-2时，则有6×（-2）-m=2，解得 m=-14．
综上可得，当 m=6或 m=-14 时，f（x）≤2的解集为{x|x≤-2}．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．