Question

已知数列和满足：，，,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）证明：对任意实数，数列不是等比数列；   

（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；

（Ⅲ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

  ？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：

                 

又，，由上式知，

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）得，于是

   

    当时，，从而上式仍成立.

    要使对任意正整数n , 都有，

即          

    令，则

    当n为正奇数时，当n为正偶数时，

   

    于是可得

    综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

  的取值范围为。