Question

已知函f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
①讨论f（x）的单调性；
②设a＞0，证明：当0＜x＜

1

a

时，f(

1

a

+x)＞f(

1

a

-x)；
③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：①求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a＞0，a≤0两种情况解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的单调区间；
②设函数g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），只需证明g（x）＞0即可，进而转化为利用导数求函数的最值；
③由①易判断a≤0时不满足条件，只需考虑a＞0时情形，由①可得f（x）的最大值为f（

1

a

），且f（

1

a

）＞0，设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则0＜x₁＜

1

a

＜x₂，由②可推得f（

2

a

-x₁）＞f（x₁）=f（x₂）=0，借助函数单调性可得结论；

解答：解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=

1

x

-2ax+（2-a）=-

(2x+1)(ax-1)

x

，
（i）当a＞0时，则由f'（x）=0，得x=

1

a

，
当x∈（0，

1

a

）时，f'（x）＞0，当x∈（

1

a

，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

a

）单调递增，在（

1

a

，+∞）上单调递减；
（ii）当a≤0时，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
②设函数g（x）=f（

1

a

+x）-f（

1

a

-x），
则g（x）=[ln（

1

a

+x）-a（

1

a

+x）²+（2-a）（

1

a

+x）]-[ln（

1

a

-x）-a（

1

a

-x）²+（2-a）（

1

a

-x）]=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g'（x）=

a

1+ax

+

a

1-ax

-2a=

2a3x2

1-a2x2

，
当x∈（0，

1

a

）时，g'（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
故当0＜x＜

1

a

时，f（

1

a

+x）＞f（

1

a

-x）；
③由①可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（

1

a

），且f（

1

a

）＞0，
不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则0＜x₁＜

1

a

＜x₂，
由②得，f（

2

a

-x₁）=f（

1

a

+

1

a

-x₁）＞f（x₁）=f（x₂）=0，
又f（x）在（

1

a

，+∞）上单调递减，
∴

2

a

-x₁＜x₂，于是x₀=

x1+x2

2

＞

1

a

，
由①知，f'（ x₀）＜0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明问题，考查分类讨论思想，本题综合性较强，难度较大，对能力要求较高．