Question

已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图所示，直线l₁与抛物线Γ相交于A、B两点，C为抛物线Γ上异于A、B的一点，且AC⊥x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线l₂交直线BM于点N，设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=1．
（i）线段|MN|的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求证：A，B，C，N四点共圆．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：计算题,证明题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意焦点到准线的距离等于p；
（Ⅱ）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（x₁，-y₁），M（x₁，y₂）；从而写出直线l₁的方程，与抛物线方程联立整理可得k²₁x²+（2bk₁-4）x+b²=0，从而利用韦达定理可得x₁+x₂=

4-2bk1

k 2 1

，x₁x₂=

b2

k 2 1

；再求出N（

y1+y2

k2

+x₁，y₂）；从而可得|MN|=

y1+y2

k2

=

4

k1k2

=4为定值；
（ii）写出AB的中点E（

2-bk1

k 2 1

，

2

k1

）；从而可得AB的中垂线方程为：y-

2

k1

=-

1

k1

（x-

2-bk1

k 2 1

）；与BC的中垂线x轴的交点为：O′（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

，0）；从而写出△ABC的外接圆的方程为：（x-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；说明都在圆上即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，p=2；
（Ⅱ）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（x₁，-y₁），M（x₁，y₂）；
直线l₁的方程为y=k₁x+b，
由

y=k1x+b y2=4x

消元整理可得：
k²₁x²+（2bk₁-4）x+b²=0，
所以x₁+x₂=

4-2bk1

k 2 1

，x₁x₂=

b2

k 2 1

；
可得y₁+y₂=

4

k1

；y₁y₂=

4b

k1

；
直线l₂的方程为：y+y₁=k₂（x-x₁），
所以可求得N（

y1+y2

k2

+x₁，y₂）；
所以|MN|=

y1+y2

k2

=

4

k1k2

=4；
（ii）证明：AB的中点E（

2-bk1

k 2 1

，

2

k1

）；
则AB的中垂线方程为：y-

2

k1

=-

1

k1

（x-

2-bk1

k 2 1

）；
与BC的中垂线x轴的交点为：O′（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

，0）；
所以△ABC的外接圆的方程为：
（x-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；
由上可知，N（x₁+4，y₂）；
∵x₁+4-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

+x₂-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

=x₁+x₂+4-2

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

=0，
∴（x₁+4-

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

）²+y²₂=（

2 k 2 1 -bk1+2

k 2 1

-x₂）²+y²₂；
所以A，B，C，N四点共圆．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线方程的联立的化简与证明，属于难题．