Question

已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y=0，直线l：2x-y+t=0．
（1）若直线l与圆C相切，求实数t的取值；
（2）若直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=

15

，求实数t的取值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：首先化圆为标准方程（x-1）²+（y+2）²=5，
（1）因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求解；
（2）利用点到直线的距离公式及勾股定理求解．

解答： 解：圆C的方程配方得，（x-1）²+（y+2）²=5，
故圆心为C（1，-2），其半径r=

5

．
（1）因为直线l与圆C相切，
所以圆心C到直线l的距离等于圆的半径，
即

|2×1-(-2)+t|

22+(-1)2

=

5

，
整理得|4+t|=5，
解得t=1或t=-9．
（2）由（1）知，圆心到直线l的距离d=

|4+t|

5

，
又因为|MN|=

15

，
所以d=

r2-( |MN| 2 )2

=

( 5 )2-( 15 2 )2

=

5

2

，
故

|4+t|

5

=

5

2

，
整理得|4+t|=

5

2

，
解得t=-

3

2

或t=-

13

2

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．