Question

7．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$；
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$；
…

Answer 1

分析 根据半角公式可证明已知的三个等式，再由题意，观察各式可得其规律，用n将规律表示出来一般性结论．

解答 证明：∵cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$
2cos$\frac{π}{16}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$，观察下列等式：
2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$；
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$；
…
由上边的式子，我们可以推断：
2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$=$\begin{array}{c}\\ \stackrel{n层}{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}\end{array}\right.$（n∈N^*）

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．