Question

9．设集合I={a₁，a₂，…，a_n }，若集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，并规定，当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，则集合I的不同分拆的种数为（　　）

• A． 3ⁿ
• B． 2ⁿ
• C． 3^n-1
• D． 2^n-1

Answer 1

分析 根据已知中集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，利用排列组合公式，可求出满足条件的集合I的不同分拆的种数．

解答 解：由已知中集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，
且当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，
则A有0个元素时，B有C₀⁰=2⁰种，
A有1个元素时，B有C₁⁰+C₁¹=2¹种，
A有2个元素时，B有C₂⁰+C₂¹+C₂²=2²种，
A有3个元素时，B有C₃⁰+C₃¹+C₃²+C₃³=2³种，
…
A有n个元素时，B有C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ种，
则集合I的不同分拆的种数为：2⁰C_n⁰+2¹C_n¹+2²C_n²+2³C_n³+…+2ⁿC_nⁿ=（2+1）ⁿ=3ⁿ，
故选：A

点评 本题考查的知识点是排列组合公式，其中正确理解集合I的一种分拆的概念是解答的关键．