Question

3．设a＞b＞0，点A（a，0），B（-a，0），C（-a，-b），D（a，-b），取线段AB上一点M，找到线段AB上另一点N，使得|AM|，$\frac{1}{2}$|MN|，|NB|成等比数列，设直线DM，CN交于点P．求证：动点P的轨迹就是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的上半部分．

Answer 1

分析 由题意设出P（x₀，y₀）（y₀＞0），由两点式写出直线CP、DP所在直线方程，求出两直线与x轴的交点坐标，求出|AM|，|MN|，|NB|，结合等比数列的性质列式整理得答案．

解答 证明：如图，设P（x₀，y₀）（y₀＞0），
则CP所在直线方程：$\frac{y+b}{{y}_{0}+b}=\frac{x+a}{{x}_{0}+a}$，取y=0，得x=$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴N（$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，0）；
DP所在直线方程：$\frac{y+b}{{y}_{0}+b}=\frac{x-a}{{x}_{0}-a}$，取y=0，得x=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴M（$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，0）．
则|AM|=a-$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{ab-b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，|MN|=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$-$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{2a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$，|NB|=$\frac{b{x}_{0}-a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}$+a=$\frac{b{x}_{0}+ab}{{y}_{0}+b}$，
由|AM|，$\frac{1}{2}$|MN|，|NB|成等比数列，
得$（\frac{a{y}_{0}}{{y}_{0}+b}）^{2}$=$\frac{ab-b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$•$\frac{b{x}_{0}+ab}{{y}_{0}+b}$，
整理得：${a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}{b}^{2}-{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}$，即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1（{y}_{0}＞0）$．
∴动点P的轨迹就是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的上半部分．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了等比数列的性质，考查计算能力，属中档题．