Question

若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x_o（a＜x_o＜b），满足f（x_o）=

f(b)-F(a)

b-a

，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．
（1）若函数，f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是

 

．
（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点，则㏑x_o与

1

ab

的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
（2）（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lnt-t+

1

t

，利用导数证明，求解出最值得出）=2lnt-t+

1

t

＜h（1）=0，

解答： 解：∵函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根．
即x²-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．
即x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，
即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）
（2）解：由题知lnx₀=

lnb-lna

b-a

．
猜想：lnx0＜

1

ab

，
证明如下：

lnb-lna

b-a

＜

1

ab

，
令t=

b a

＞1，原式等价于lnt²＜t-

1

t

，
2lnt-t+

1

t

＜0，
令h（t）=2lnt-t++

1

t

（t＞1），
则h′（t）=

2

t

-1-

1

t2

=-

(t-1)2

t

＜0，
∴h（t）=2lnt-t+

1

t

＜h（1）=0，
得证lnx0＜

1

ab

点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．