Question

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-mf（x），h(x)=x-m

x

，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e²）时，恒有

2+f(x)

2-f(x)

＞x成立．

Answer 1

分析：（1）由题设g（x）=x²-mlnx，则g′(x)=2x-

m

x

，由已知g′（1）=0，得m=2，于是h(x)=x-2

x

，由此能求出m的值及函数h（x）的单调区间．
（2）当x∈（1，e²）时，0＜lnx＜2，欲证

2+f(x)

2-f(x)

＞0，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证f（x）＞

2(x-1)

x+1

．由此能够证明当x∈（1，g²）时，恒有

2+f(x)

2-f(x)

＞x成立．

解答：解：（1）由题设g（x）=x²-mlnx，则g′(x)=2x-

m

x

，
由已知g′（1）=0，即2-m=0，则m=2，
于是h(x)=x-2

x

，则h′(x)=1-

1

x

，
当h′(x)=1-

1

x

＞0时，x＞1，
当h′(x)=1-

1

x

＜0时，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e²）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证

2+f(x)

2-f(x)

＞0，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）＞

2(x-1)

x+1

．
设F（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

，
则F′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
当1＜x＜e²时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e²）上为增函数，
从而当x∈（1，e²）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞

2(x-1)

x+1

，
故

2+f(x)

2-f(x)

＞x．

点评：本题考查求m的值及求函数h（x）的单调区间和不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．