Question

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h(x)=x-a

x

，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立．

Answer 1

分析：（1）由题设，知g（x）=x²-alnx，则g′(x)=2x-

a

x

．由g'（1）=0，知a=2于是h(x)=x-2

x

，由此能确定h（x）的单调性．
（2）当1＜x＜e²时，0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0，欲证x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证f(x)＞

2(x-1)

x+1

．由此能够证明当1＜x＜e²时，x＜

2+f(x)

2-f(x)

．

解答：解：（1）由题设，g（x）=x²-alnx，则g′(x)=2x-

a

x

．…（2分）
由已知，g'（1）=0，即2-a=0⇒a=2．…（3分）
于是h(x)=x-2

x

，则h′(x)=1-

1

x

．由h′(x)=1-

1

x

＞0⇒x＞1，…（5分）
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（2）当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0…（8分）
欲证x＜

2+f(x)

2-f(x)

，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证f(x)＞

2(x-1)

x+1

．
设φ(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

=lnx-

2(x-1)

x+1

，
则φ′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在区间（1，e²）上为增函数．
从而当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

，故x＜

2+f(x)

2-f(x)

．…（12分）

点评：本题考查函数单调性的确定和不等式的证明，具体涉及到导数的性质和应用、函数的单调性、不等式的等价转化等基本知识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．