Question

在△ABC中，已知（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，其中A、B、C分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求：
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求满足不等式sinA+sinB≥

3

2

的角A的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理将已知等式化简，可得ab=a²+b²-c²，从而算出cosC=

1

2

，结合C为三角形的内角，即可得到角C的大小；
（II）根据sinB=sin（A+C），利用三角恒等变换公式化简不等式sinA+sinB≥

3

2

，可得sin（A+

π

6

）≥

3

2

．再结合正弦函数的图象与性质，即可算出满足条件的角A的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，
∴根据正弦定理，得（a+c）（a-c）=（a-b）b，即ab=a²+b²-c²        …（4分）
∴cosC=

a 2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
由0＜C＜π，可得C=

π

3

  …（6分）
（Ⅱ）∵sinA+sinB≥

3

2

即sinA+sin（A+C）≥

3

2

，…（7分）
即sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA≥

3

2

，可得

3

（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）≥

3

2

，
∴

3

sin（A+

π

6

）≥

3

2

，即sin（A+

π

6

）≥

3

2

，…（9分）
∴

π

3

≤A+

π

6

≤

2π

3

，可得

π

3

≤A≤

π

2

．…（12分）

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角C的大小并依此求满足不等式的A的范围，着重考查了正余弦定理、诱导公式和三角恒等变换等知识，属于中档题．