Question

设f（x）是（x²+

1

2x

）⁶展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，则实数m的取值范围是

[5，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可得 f（x）=

5

2

•x³，再由由f（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，求得

5

2

x²在区间[

2

2

，

2

]上的最大值，可得m的范围．

解答：解：由题意可得 f（x）=

C

3 6

•x⁶•(

1

2x

)3=

5

2

•x³．
由f（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，
由于

5

2

x²在区间[

2

2

，

2

]上的最大值为 5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为[5，+∞）．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．