Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-5x+1在[m，m+1]上的最小值为-2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法即可求函数f（x）的解析式；
（2）将二次函数进行配方，然后根据二次函数的最值，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）令1-x=t，则x=t-1，
得f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3，
化简得f（t）=t²+t+1，
即f（x）=x²+x+1，x∈R．
（2）∵g（x）=f（x）-5x+1
∴g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2（m≤x≤m+1），
∵m≤x≤m+1，g（x）_min=-2，
∴m≤2≤m+1，
∴1≤m≤2．

点评：本题主要考查利用换元法求函数的解析式，以及二次函数的图象和性质．