Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²+a（a是常数）．则x∈[2，4]时的解析式为（　　）

• A、f（x）=-x²+6x-8
• B、f（x）=x²-10x+24
• C、f（x）=x²-6x+8
• D、f（x）=x²-6x+8+a

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x），得出4是f（x）的周期；由f（x）是R上的奇函数，得出f（0）=a=0；
由x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，求出x∈[-2，0]时，f（x）的解析式，从而求出x∈[2，4]时，f（x）的解析式．

解答：解：∵对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）；
∴用x+2代替x，则f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数；又∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²+a，
∴f（0）=a=0，∴f（x）=2x-x²；
当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²；
∴当 x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8；
又∵f（x）的周期是4，∴f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
∴在x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8；
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性以及解析式的求法，是易错题．