Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A．（-∞，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=

f(x)

x

为减函数，由f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可

解答：解：设g（x）=

f(x)

x

则g（x）的导数为g′（x）=

xf，(x)-f(x)

x2

∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=

f(x)

x

为减函数，
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

f(x)

x

=g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=

f(1)

1

=0
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x²•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．