Question

【题目】已知数列{an}的各项都大于1，且a1=2，a ﹣an+1﹣a +1=0（n∈N*）．
（1）求证： ≤an＜an+1≤n+2；
（2）求证： + + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an＞1，

由 ，

得 ，即an+1＞an，

∵ ，

∴an+1=（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1≤n+2，

，

∴

（2）证明：由 ，

∴

，

∴ ，

即 ，

，

∴ ＜1

【解析】（1）由an＞1，结合 ，可得an+1＞an；作差放缩可得an+1﹣an＜1，利用迭代法证得an+1≤n+2；最后再由作差放缩得到 ，进一步得到 ；（2）由 ，得 ，可得 ，然后利用裂项相消法证得答案．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．