Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，．
（1）求证：AG⊥EF
（2）求多面体P-AGF的体积．

Answer 1

解：（1）（图1）连接GE、GC
∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，
∴AG⊥PD
∵ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD
∵AG平面PAD，
∴CD⊥AG，
∵CD、PD是平面PCD内的相交直线，
∴AG⊥平面PCD，
∵CG平面PCD，
∴AG⊥CG
∵△PAD中，E、G分别为PA、PD中点，
∴GE∥AD且，
又∵矩形ABCD中，F为BC中点，
∴CF∥AD且，
∴CF∥GE且CF=GE，可得四边形CFEG是平行四边形，CG∥EF
∴AG⊥EF
（2）由（1）得CD⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD平面PAD，BC平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
因此，点F到平面PAD的距离等于CD
∴三棱锥F﹣PAG的体积为：V=
所以多面体P﹣AGF的体积等于V三棱锥F﹣PAG=