Question

（2012•烟台二模）如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，AD=2

2

．
（Ⅰ）求证：AG⊥EF
（Ⅱ）求多面体P-AGF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接GE、GC，根据△PAD是等边三角形，得到中线AG⊥PD．而矩形ABCD中，CD⊥AD，结合平面PAD⊥平面ABCD，得到CD⊥平面PAD，从而有CD⊥AG．依据线面垂直的判定定理，得到AG⊥平面PCD，所以AG⊥CG．接下来证明四边形CFEG是平行四边形，得到CG∥EF，所以有AG⊥EF；
（II）由（I）得CD⊥平面PAD，且BC∥平面PAD，因此点F到平面PAD的距离等于CD．由此可得三棱锥F-PAG的体积V，即为多面体P-AGF的体积．

解答：解：（Ⅰ）（图1）连接GE、GC
∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，∴AG⊥PD…（2分）
∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD…（4分）
∵AG⊆平面PAD，∴CD⊥AG，
∵CD、PD是平面PCD内的相交直线，∴AG⊥平面PCD，
∵CG⊆平面PCD，∴AG⊥CG…（6分）
∵△PAD中，E、G分别为PA、PD中点，∴GE∥AD且GE=

1

2

AD，
又∵矩形ABCD中，F为BC中点，∴CF∥AD且CF=

1

2

AD，
∴CF∥GE且CF=GE，可得四边形CFEG是平行四边形，CG∥EF…（8分）
∴AG⊥EF…（10分）
（Ⅱ）由（I）得CD⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD⊆平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
因此，点F到平面PAD的距离等于CD
∴三棱锥F-PAG的体积为：V=

1

3

×CD•S△PAG=

1

3

×2×

1

2

×

3

4

a2=

2 3

3

所以多面体P-AGF的体积等于V_{三棱锥F-PAG}=

2 3

3

…（14分）

点评：本题给出的四棱锥的底面为矩形，有一侧面为正三角形且与底面垂直，证明了线线垂直并且求锥体的体积，着重考查了空间垂直位置关系的证明和多面体体积的计算等知识，属于中档题．