Question

已知函数f（x）=|x²-1|+m|x+1|+a有最小值f（2）=-4，
（a）作出函数y=f（x）的图象，
（b）写出函数f（1-2x）的递增区间．

Answer 1

解：（a）∵当x＞1时，f（x）=x²+mx+a+m-1
又∵函数f（x）=|x²-1|+m|x+1|+a有最小值f（2）=-4，
故-=2，即m=-4
则f（x）=x²-4x+a-5
则f（2）=4-8+a-5=-4，故a=5
则f（x）=|x²-1|-4|x+1|+5
则f（x）=
其函数的图象如图：

（b）由（1）我们可得函数y=f（x）在区间（-∞，-2]，[-1，2]上单调递减
在区间[-2，-1]，[1，+∞）上单调递增
又∵函数f（1-2x）的内函数为减函数
故函数当1-2x∈（-∞，-2]∪[-1，2]时
故函数f（1-2x）的递增区间为[-，1]，[，+∞）
分析：（a）由函数f（x）=|x²-1|+m|x+1|+a有最小值f（2）=-4，根据函数的性质，我们易构造出关于m，a的方程组，解方程组即可求出函数的解析式，利用零点分段法，我们可以将函数的解析式化为分段函数的形式，进而画出每段函数的图象，即可得到函数y=f（x）的图象．
（b）由复合函数“同增异减”的原则，我们要求出函数f（1-2x）的递增区间，即确定x为何值时，外函数为单调递减区间，构造关于x的不等式，解不等式即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，函数的最值及其几何意义，其中利用函数的性质结合最小值f（2）=-4，构造出关于m，a的方程组，进而确定函数的解析式，是解答本题的关键．