Question

如图所示的多面体中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以多面体为几何背景，考查线线平行、线线垂直、线面平行、面面平行、二面角、线面角等数学知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问，因为BFED为矩形，所以BF//DE，利用线面平行的判定得BF//平面AED，因为ABCD为棱形，所以BC//AD，利用线面平行的判定，得BC//平面ADE，再利用面面平行的判定，得平面FBC//平面EDA；第二问，利用线面垂直的性质，利用平行线、利用棱形、矩形的性质，得，，从而得出是二面角的平面角，且，法一：先利用四边形ADBG和BDEF，证明A、E、F、G共面，再由证过的垂直关系，证明面AEFG，所以为所求，在中，可求出AN即AC的值，在等腰三角形AMC中，可求出MC，而在直角三角形GMC中可求；法二：连结BM，在中，利用余弦定理，解出，再利用，利用诱导公式求；法三：利用图中的垂直关系，建立空间直角坐标系，找到平面AEF的法向量坐标，再找到坐标，利用夹角公式先求出与平面AEF的法向量的夹角，再利用诱导公式求.
试题解析：（1）矩形中，    1分
平面，平面,平面，  2分
同理平面,    3分
又平面∥平面   4分
（2）取的中点.
由于面,∥,
又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，
所以，就是二面角的平面角   -8分

解法1（几何方法）：

延长到，使,由已知可得，是平行四边形，又矩形，所以是平行四边形，共面，由上证可知，，,相交于，平面，为所求.
由,,得
等腰直角三角形中，,可得
直角三角形中,
解法2几何方法）：由，，得平面，欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角.   12分
连结，设则在中，，，用余弦定理知 -14分
解法3（向量方法）：以为原点，为轴、为轴
建立如图的直角坐标系，

由则，
，平面的法向量，   -12分
. -14分