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(05年北京卷)(14分)

 已知函数

  (I)求的单调递减区间;

  (Ⅱ)若在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

解析:(I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令f ‘(x)<0,解得x<-1或x>3,

     所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).

    (II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

     所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f ‘(x)>0,所以f(x)在[-1, 2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2.    

故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,

    即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

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