Question

长为11的线段AB的两端点都在双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（　　）

• A、

  7

  5

• B、

  51

  10

• C、

  33

  10

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：用A、B 两点的坐标表示出|FA|和|FB|，解出A、B 两点的坐标，利用（|FA|+|FB|）≥|AB|，求得m的最小值．

解答：解：由双曲线

x2

9

-

y2

16

=1可知，a=3，b=4，c=5，设AB中点M的横坐标为 m，e=

5

3

，则
|FA|=

5

3

（x_A-

a2

c

），|FB|=

5

3

（x_B-

a2

C

），
m=

xA+xB

2

=

1

2

 （

3

5

|FA| +

a2

c

+

3

5

|FB| +

a2

c

 ）=

3

10

（|FA|+|FB|）+

a2

c

 
≥

3

10

|AB|+

9

5

=

3

10

×11+

9

5

=

51

10

，当且仅当F、A、B共线时，m取得最小值．
故答案为

51

10

．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，基本不等式、以及双曲线的简单性质的应用，把m表示为 

3

10

（|FA|+|FB|）+

a2

c

，是解题的难点和关键．