Question

（2006•朝阳区二模）已知向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间及其图象的对称中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量数量积的运算表示出f（x），然后逆用二倍角的余弦公式可进行化简；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可求得f（x）的增区间；令

2x

3

+

π

3

=kπ，（k∈Z）可求函数图象的对称中心；

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos

x

3

sin

x

3

+

3

cos2

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

．
∴f（x）的单调增区间为[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）．
令

2x

3

+

π

3

=kπ，则．（k∈Z）．
∴对称中心是（

3k-1

2

π，

3

2

）（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换、数量积运算及三角函数的单调性对称性，考查学生综合运用知识解决问题的能力．