Question

某地今年年初有居民住房面积为am²，其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除xm²的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．
（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？
（2）依照（1）拆房速度，再过多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？
下列数据供学生计算时参考：

1.19=2.38	1.00499=1.04
1.110=2.6	1.004910=1.05
1.111=2.85	1.004911=1.06

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得过10年住房总面积为1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-

1.110-1

1.1-1

x=2.6a-16x
设今年人口数为m，根据该地区人口年增长率为4.9‰，求出10年后人口数为m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m，利用10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，建立方程，即可得到结论；
（2）根据居民住房面积为am²，其中需要拆除的旧房面积占了一半，每年应拆除的旧住房面积

1

32

am²，可得拆除所有需要拆除的旧住房所需要时间．

解答：解：（1）过1年住房总面积为1.1a-x（m²）
过2年住房总面积为1.1（1.1a-x）-x=1.1²a-1.1x-x（m²）
过3年住房总面积为1.1（1.1²a-1.1x-x）-x=1.1³a-1.1²x-1.1x-x（m²）
…
过10年住房总面积为1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-

1.110-1

1.1-1

x=2.6a-16x
设今年人口数为m，∵该地区人口年增长率为4.9‰，
∴10年后人口数为m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m
由题意，10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番
∴

2.6a-16x

1.05

=2a 
解得x=

1

32

a（m²）
（2）∵居民住房面积为am²，其中需要拆除的旧房面积占了一半，每年应拆除的旧住房面积

1

32

am²，
∴拆除所有需要拆除的旧住房所需要时间为

1

2

a÷

1

32

a=16年

点评：本题考查等比数列模型的构建，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．