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已知f(x)=(x∈R),在区间[-1,1]上是增函数.

(1)求实数a的值组成的集合A;

(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)(x)=,∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.①设(x)=x2-ax-2,

  方法一:

  ①-1≤a≤1,∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,

  (-1)=0以及当a=-1时,(1)=0∴A={a|-1≤a≤1}.

  方法二:

  ①  或

  ∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,(-1)=0以及当a=-1时,(1)=0

  ∴A={a|-1≤a≤1}.

  (Ⅱ)由,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,

  

  x1x2=-2,②设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

  方法一:

  ②

  方法二:

  当m=0时,②显然不成立;当m≠0时,

  ②

  所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2


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已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).

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  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x

(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6

然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

依题意

又f′(0)=-3

∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x

(2)设切点为(x0,x03-3x0),

∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3

∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)

又切线过点A(2,m)

∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)

∴m=-2x03+6x02-6

令g(x)=-2x3+6x2-6

则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)

由g′(x)=0得x=0或x=2

∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.

∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2

画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,

所以m的取值范围是(-6,2).

 

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