已知f(x)=(x∈R),在区间[-1,1]上是增函数.
(1)求实数a的值组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)(x)==,∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.①设(x)=x2-ax-2, 方法一: ①-1≤a≤1,∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时, (-1)=0以及当a=-1时,(1)=0∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二: ① 或 ∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,(-1)=0以及当a=-1时,(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,
x1x2=-2,②设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: ② 方法二: 当m=0时,②显然不成立;当m≠0时, ② 所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2 |
科目:高中数学 来源:宜都一中2008届高三数学周练(5) 题型:044
已知f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).
(1)若a=b=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的导函数满足:当|x|≤1时,有恒成立,求函数f(x)的解析表达式;
(3)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b=,证明:与不可能垂直.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:单选题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com