Question

10．在数列{a_n}中，S_n是其前n项和，且S_n≠0，a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}^{2}}_{n}}{2{S}_{n-1}}$（n≥2），求S_n与a_n．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），得S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），整理得，$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为2的等差数列，即可求得结论．

解答 解：由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
得S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，n≥2，
整理得，S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=$\frac{2}{8n-4{n}^{2}-3}$，n≥2．
n=1时，a₁=1不符合，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{8n-4{n}^{2}-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用公式法求数列的通项公式，解题时注意式子的合理变形，属于中档题．