Question

5．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定义域在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（2t-2）+f（t）＜0，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数为奇函数，可得b=0，利用f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅲ）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知f（-x）=-f（x）
∴$\frac{-ax+b}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，∴a=1
∴$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：
∵f（x）=$\frac{（1-x）（1+x）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增；
（Ⅲ）∵f（2t-2）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数
∴f（2t-2）＜f（-t）
∵当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2t-2＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{2t-2＜-t}\end{array}\right.$
∴$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{2}{3}$，
∴不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）

点评 本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，考查函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力，属于中档题．