Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[$\sqrt{2}$，2]，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 确定$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值是a²-1，利用双曲线的离心率的取值范围为[$\sqrt{2}$，2]，求出a的范围，即可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值的取值范围

解答 解：设P（x，y），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²-1+y²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$x²-b²-1=$\frac{1}{{a}^{2}}$x²+a²-2≥a²-1，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值是a²-1．
∵双曲线的离心率的取值范围为[$\sqrt{2}$，2]，
∴$\sqrt{2}$≤$\frac{1}{a}$≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤a²-1≤-$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．