Question

12．已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，${b_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}$．
（1）求公差d的值；
（2）若${a_1}=-\frac{5}{2}$，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范围．
（4）若对任意的n∈N^*，数列{b_n}中最小值为b₈，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据 S₄=2S₂+4，可得4a₁+6d=2（2a₁+d）+4，解得d的值．
（2）由条件先求得a_n的解析式，即可得到b_n的解析式${b_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}$=1+$\frac{1}{n-\frac{7}{2}}$，由函f（x）=1+$\frac{1}{x-\frac{7}{2}}$在（-∞，$\frac{7}{2}$）和（$\frac{7}{2}$，+∞）上分别是单调减函数，可得b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，故数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由${b_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}$=1+$\frac{1}{n+{a}_{1}-1}$，函数f（x）=1+$\frac{1}{x+{a}_{1}-1}$在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，x＜1-a₁ 时，y＜1； x＞1-a₁时，y＞1，再根据b_n≤b₈，可得 7＜1-a₁＜8，从而得到a₁的取值范围．
（4）根据不等式的性质解不等式即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a₁+6d=2（2a₁+d）+4，解得d=1，
（2）∵${a_1}=-\frac{5}{2}$，∴数列a_n的通项公式为a_n=n-$\frac{7}{2}$，
∴${b_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}$=1+$\frac{1}{n-\frac{7}{2}}$，
∵函数f（x）=1+$\frac{1}{x-\frac{7}{2}}$在（-∞，$\frac{7}{2}$）和（$\frac{7}{2}$，+∞）上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）${b_n}=\frac{{1+{a_n}}}{a_n}$=1+$\frac{1}{n+{a}_{1}-1}$
又函数f（x）=1+$\frac{1}{x+{a}_{1}-1}$在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a₁ 时，y＜1；x＞1-a₁时，y＞1．
∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范围是（-7，-6）．
（4）∵b_n≥b₈
∴1+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥1+$\frac{1}{{a}_{8}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{8}}$，
数列{a_n}是递增数列，且公差为1，
∴a₈=a+8-1＜0，a₉=a+9-1＞0，
此时$\frac{1}{{a}_{8}}$＜0，（n≥8）当0＜n＜8时也有a_n＜a₈，也有即$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{8}}$，
解得-8＜a＜-7．

点评 本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，得到7＜1-a₁＜8，是解题的难点．