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设C1是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0),C2是以直线为渐近线,以为一个焦点的双曲线.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B,求p的取值范围,并求的最大值; 
(3)若△FAB的面积S满足,求p的值.

【答案】分析:(1)设双曲线C2的标准方程,利用C2是以直线为渐近线,以为一个焦点的双曲线,及a2+b2=c2,即可求得双曲线C2的标准方程;
(2)将抛物线y2=2px代入,整理可得2x2-3px+6=0,根据C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B,即可确定p的取值范围,从而求出的最大值; 
(3)直线AB的方程为(x-x1),求出F到直线AB的距离,从而可求面积S,根据,建立方程,即可求得结论.
解答:解:(1)设双曲线C2的标准方程为
∵C2是以直线为渐近线,以为一个焦点的双曲线.

∵a2+b2=c2

∴双曲线C2的标准方程为
(2)将抛物线y2=2px代入,整理可得2x2-3px+6=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x2>0,y2>0),则

+y1y2==
∴当且仅当p=2时,的最大值为9;
(3)直线AB的方程为(x-x1),即x-y-×x1+y1=0
∴F到直线AB的距离为d=
=

)=
∴p=
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查抛物线与双曲线的位置关系,考查三角形面积的计算,综合性强,难度大.
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(2012•上海模拟)设C1是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0),C2是以直线2x-
3
y=0
2x+
3
y=0
为渐近线,以(0,  
7
)
为一个焦点的双曲线.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B,求p的取值范围,并求
FA
FB
的最大值;
(3)是否存在正数p,使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上?如果存在,求出p的值;如果不存在,说明理由.

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3
y=0
2x+
3
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为渐近线,以(0,  
7
)
为一个焦点的双曲线.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B,求p的取值范围,并求
FA•
FB
的最大值; 
(3)若△FAB的面积S满足S=
2
3
FA
FB
,求p的值.

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