Question

某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．
（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S_弓=f（θ）；
（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．
（参考公式：扇形面积公式S=

1

2

R2θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧长）

Answer 1

分析：（1）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S_弓=f（θ）；
（2）设总利润为y元，草皮利润为y₁元，花木地利润为y₂，观赏样板地成本为y₃，求出y的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．

解答：解：（1）S扇=

1

2

R2θ，S△OCD=

1

2

R2sinθ，S弓=f(θ)=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）设总利润为y元，草皮利润为y₁元，花木地利润为y₂，观赏样板地成本为y₃y1=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)，y2=

1

2

R2sinθ•8，y3=

1

2

R2(θ-sinθ)•2，
∴y=y1+y2-y3=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+

1

2

R2sinθ•8-

1

2

R2(θ-sinθ)•2．=

1

2

R2[3π-(5θ-10sinθ)]
设g（θ）=5θ-10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5-10cosθg′(θ)＜0，cosθ＞

1

2

，g(θ)在θ∈(0，

π

3

)上为减函数；g′(θ)＞0，cosθ＜

1

2

，g(θ)在θ∈(

π

3

，π)上为增函数．
当θ=

π

3

时，g（θ）取到最小值，此时总利润最大．
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

π

3

时，总利润最大．

点评：本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．