Question

（2012•泰安二模）下列命题中的真命题是（　　）

• A．?x∈R，sinx+cosx=

  3

  2

• B．?x∈（0，π），sinx＞cosx
• C．?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
• D．?x∈（0，+∞），e^x＞x+1

Answer 1

分析：选项A应把sinx+cosx化积求值域；B选项可取特值排除，C命题可用幂函数的单调性；D分析较为困难，可建立辅助函数，求导分析单调性解决．

解答：解：由sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，最大值为

2

小于

3

2

 x不存在∴A不正确；
B选项（特值）可取x=

π

4

，sin

π

4

=cos

π

4

，∴不是全部都符合，排除B．
C选项，?x∈（-∞，0），x一旦选定就是一个具体值，运用幂函数在幂指数小于0时为减函数，都有2^x＞3^x，排除C．
D选项分析：可令辅助函数 y=e^x-x-1，y′=e^x-1，当x∈（0，+∞）时恒大于0，∴函数f（x）=e^x-x-1在0，∞）上位增函数，∴f（x）＞0，即e^x-x-1＞0，即e^x＞x+1．得到结论正确．
故选D

点评：对于全称命题和特称命题排除法是解决的常用方法，全称可以举反例验证，或者结合已知条件证明出来