Question

已知函数，其中a＞0
（1）若f（x）的极大值点为x=-2，求a的值
（2）若不等式对任意x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2x-1）e^ax+a（）e^ax
=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令f′（x）=0，得x=-，或x=1．
∴极值点为x=-，或x=1．
∵f（x）的极大值点为x=-2，
∴-=-2，
解得a=1．
（2）∵不等式对任意x∈[0，+∞）恒成立，
，其中a＞0，
∴对任意x∈[0，+∞）恒成立，
设g（x）=（）e^ax+，
则g′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，
令g′（x）=0，得x=-，或x=1．
∵a＞0，∴列表讨论：

x	（0，-）	-	（-，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∵g（0）=＞0，g（1）=＜0，
∴f（1）=为最小值
∴≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
∴a∈（0，ln3]．
分析：（1）f′（x）=[ax²+（2-a）x-2]e^ax，令f′（x）=0，得x=-，或x=1．再由f（x）的极大值点为x=-2，能求出a．
（2）讨论满足f′（x）=0的点将区间（0，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力．