Question

如图所示，圆柱的高为2，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求证：PB//面EFG；

(3)在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，求出BM；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明(1)∵PA是圆柱的母线，∴PA圆柱的底面．1分 　　∵CD圆柱的底面，∴PACD 　　又∵ABCD为矩形，∴CDAD 　　而ADPA＝A，∴CD平面PAD；3分 　　又CD平面PDC，∴平面PDC平面PAD．4分 　　(2)取AB中点H，连结GH，HE， 　　∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点， 　　∴GH∥AD∥EF， 　　∴E，F，G，H四点共面．6分 　　又H为AB中点，∴EH∥PB．7分 　　又面EFG，平面EFG， 　　∴PB∥面EFG．9分 　　(3)假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连结AM，则AM＝＝， 　　由(2)知PAAM，∴SPAM＝ 　　∴VD－PAM＝＝＝；11分 　　∵ 　　∴；12分 　　∵VD－PAM＝ 　　∴＝，解得： 　　∵ 　　∴在BC上存在一点M，当使得点D到平面PAM的距离为2；14分