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(2012•韶关一模)如图所示,圆柱的高为2,底面半径为
7
,AE、DF是圆柱的两条母线,过AD作圆柱的截面交下底面于BC.
(1)求证:BC∥EF;
(2)若四边形ABCD是正方形,求证BC⊥BE;
(3)在(2)的条件下,求四棱锥A-BCE的体积.
分析:(1)在圆柱中:由上底面∥下底面,知BC∥AD,由AE、DF是圆柱的两条母线,知ADFE是平行四边形,由此能够证明BC∥EF.
(2)由AE是圆柱的母线,知AE⊥下底面,由BC?下底面,知AE⊥BC.由此入手能够证明BC⊥BE.
(3)因为母线AE垂直于底面,所以AE是三棱锥A-BCE的高,EO就是四棱锥E-ABCD的高.设正方形ABCD的边长为x,则AB=EF=x,BE=
AB2-AE2
=
x2-4
,由此利用题设条件,能够求出四棱锥A-BCE的体积.
解答:(本题满分14分)
(1)证明:在圆柱中:∵上底面∥下底面,
且上底面∩截面ABCD=AD,下底面∩截面ABCD=BC,
∴BC∥AD….(2分)
又∵AE、DF是圆柱的两条母线,
AE
.
.
DF
,∴ADFE是平行四边形,
所以AD∥EF,又BC∥AD
∴BC∥EF….(5分)
(2)∵AE是圆柱的母线,
∴AE⊥下底面,又BC?下底面,∴AE⊥BC….(7分)
又∵截面ABCD是正方形,所以BC⊥AB,
又AB∩AE=A,∴BC⊥面ABE,
又BE?面ABE,
∴BC⊥BE…(9分)
(3)因为母线AE垂直于底面,
所以AE是三棱锥A-BCE的高…(10分),
EO就是四棱锥E-ABCD的高…(10分)
设正方形ABCD的边长为x,则AB=EF=x,
BE=
AB2-AE2
=
x2-4

又∵BC∥EF,且BC⊥BE,∴EF⊥BE,
∴BF为直径,即BF=2
7

在Rt△BEF中,BF2=BE2+EF2
(2
7
)2=x2+x2-4⇒x=4

∴SABCD=4×4=16,…(12分)
EO=
AE•BE
AB
=
42-4
4
=
3

VE-ABCD=
1
3
•OE•SABCD=
1
3
×
3
×16=
16
3
3

∴四棱锥A-BCE的体积=
1
2
VE-ABCD
=
1
2
×
16
3
3
=
8
3
3
.…(14分)
点评:本题考查直线平行和直线垂直的证明,考查棱锥的体积的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
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