Question

（2012•韶关一模）已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样变化得到．

Answer 1

分析：（1）先利用降幂公式，再利用辅助角公式化简函数，即可求得f（x）的周期和单调递增区间；
（2）先进行周期变换，再进行平移变换，最后进行伸缩变换，即可得到结论．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x…（2分）
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)，…（5分）
f（x）最小正周期为π…（6分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．…（9分）
（2）将y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标变为原来

1

2

倍，将所得图象向左平移

π

12

个单位，再将所得的图象横坐标不变，纵坐标为原来的2倍得f（x）的图象．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的性质，考查图象的变换，解题的关键是正确化简函数，整体思维．