Question

【题目】已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2 +1
（1）求证数列{ }是等差数列，并求出an的通项公式；
（2）若bn= ，求数列{b}的前n项的和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由an+1=an+2 +1= ﹣1，

∴ ﹣ =1，

故数列{ }是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．

∴ =1+（n﹣1） =n，

∴an=n2﹣1

（2）解：bn= =（n+1）2n，

∴数列{b}的前n项的和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）2n，

2Tn=2×22+3×23+…+n2n+（n+1）2n+1，

∴﹣Tn=4+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1=2+ ﹣（n+1）2n+1，

可得Tn=n2n+1

【解析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．