Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）证明函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）当0＜a＜1时，判断函数y=f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求函数y=f（2x）与y=f^-1（x）的图象的公共点的坐标．

Answer 1

（1）证明：令a^x-1＞0，得a^x＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．
所以当a＞1时，f（x）的定义域为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，0）．
故函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）解：当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增．下面证明之：
当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，0）．
设x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=-
=，∵0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，∴＞＞0，
∴＞1，又0＜a＜1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故当0＜a＜1时，f（x）单调递增．
（3）f（2x）=，f^-1（x）=，
令=，得a^2x-1=a^x+1，即a^2x-a^x-2=0，
∴a^x=2或a^x=-1（舍），
∴x=log_a2，则f^-1（log_a2）=log_a3．
故函数y=f（2x）与y=f^-1（x）的图象的公共点的坐标为（log_a2，log_a3）．
分析：（1）函数图象的左右位置由函数定义域决定，可求出其定义域说明；
（2）根据函数单调性的定义证明；
（3）方程f（2x）=f^-1（x）的解即为公共点的横坐标，进而可求出其纵坐标．
点评：本题考查了对数函数的图象性质、复合函数的单调性及反函数，准确理解有关概念，掌握其常用方法是解决该类题目的基础．体会函数与方程的思想．