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    已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：
    （1）当b≠时，tg3A=
    ab
    ．
    （2）（1+2cos2A）2=a2+b2．
    分析：（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明．
    （2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论．
    解答：证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A
    =2sin
    A+5A
    2
    cos
    5A-A
    2
    +sin3A
    =2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），
    ∴sin3A（1+2cos2A）=a ①
    同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②
    两式相除，即得tan3A=
    a
    b

    （2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①
    cos3A（1+2cos2A）=b，②
    ∴①2+②2
    sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，
    ∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，
    ∴（1+2cos2A）2=a2+b2．
    点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，已知tan
    C
    2
    =sin（A+B），给出以下四个论断：
    ①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤
    		2

    ③sin2A+cos2B=1    ④sin2A+sin2B+sin2C=2
    其中一定正确的是
     
    （填上所有正确论断的序号）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．
    （1）求角B的大小；
    （2）若b2=ac，判断△ABC的形状；
    （3）求证：
    b•sin(C-
    π
    6
    )
    (2c-a)•cosB
    为定值．

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    科目：高中数学 来源：2010年高考试题（浙江卷）解析版（文） 题型：解答题

     [番茄花园1] （本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。

    （Ⅰ）求角C的大小；

    （Ⅱ）求的最大值。

     (Ⅰ)解：由题意可知

    absinC=,2abcosC.

    所以tanC=.

    因为0<C<，

    所以C=.

    （Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)

                            =sinA+cosA+sinA=sin(A+)≤.

    当△ABC为正三角形时取等号，

    所以sinA+sinB的最大值是.

     

     

     [番茄花园1]1.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．
    （1）求角B的大小；
    （2）若b2=ac，判断△ABC的形状；
    （3）求证：
    b•sin(C-
    π
    6
    )
    (2c-a)•cosB
    为定值．

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    科目：高中数学 来源：2014届山东省高一第二学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知sina＝,aÎ(,p)，cosb＝－，b是第三象限的角.

    ⑴ 求cos(a－b)的值；

    ⑵ 求sin(a＋b)的值；

    ⑶ 求tan2a的值.

    【解析】第一问中∵ aÎ(,p),∴ cosa＝－＝－,  ∵ b是第三象限的角，

    ∴ sinb＝－＝－,     

    cos(a－b)＝cosa·cosb＋sina·sinb ＝(－)×(－)＋×(－)＝－ 

    ⑵ 中sin(a＋b)＝sina·cosb＋cosa·sinb       ＝×(－)＋(－)×(－)＝ ⑶ 利用二倍角的正切公式得到。∵tana＝＝－ ∴tan2a＝ ＝＝－ 

    解∵ aÎ(,p),∴ cosa＝－＝－,         …………1分

    ∵ b是第三象限的角，∴ sinb＝－＝－,        ………2分

    ⑴ cos(a－b)＝cosa·cosb＋sina·sinb          …………3分

    ＝(－)×(－)＋×(－)＝－          ………………5分

    ⑵ sin(a＋b)＝sina·cosb＋cosa·sinb          ……………………6分

    ＝×(－)＋(－)×(－)＝           …………………8分

    ⑶ ∵tana＝＝－             …………………9分

    ∴tan2a＝             ………………10分

    ＝＝－

     

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