Question

已知f(ex)=

x

x2+3

，x∈R．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有两个不相等的实数根α，β，求αβ的值；
（3）若函数g（x）=f（x）-a在x∈[1，e]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解（1）令t=e^x时，则x=lnt，t＞0，根据f(ex)=

x

x2+3

，x∈R，可求f（x）的表达式；
（2）由f(x)=

1

4(lnx+1)

可得，3ln²x+4lnx-3=0，利用方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有两个不相等的实数根α，β，可得lnα+lnβ=-

4

3

，从而可求αβ的值；
（3）函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，等价于f（x）=a在（1，e]上有解．分类讨论：①当x=1时，f（x）=0；②当x∈（1，e]时，lnx∈（0，1]，则f(x)=

1

lnx+ 3 lnx

，利用基本不等式可求f(x)∈(0，

1

4

]，从而可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）令t=e^x时，则x=lnt，t＞0，
∵f(ex)=

x

x2+3

，x∈R
∴f(t)=

lnt

ln2t+3

，t＞0，
即f(x)=

lnx

ln2x+3

，x＞0．…（4分）
（2）由f(x)=

1

4(lnx+1)

可得，3ln²x+4lnx-3=0．
∵方程f(x)=

1

4(lnx+1)

有两个不相等的实数根α，β
∴lnα+lnβ=-

4

3

，故αβ=e-

4

3

．…（8分）
（3）函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，等价于f（x）=a在（1，e]上有解．
①当x=1时，f（x）=0；
②当x∈（1，e]时，lnx∈（0，1]，则f(x)=

1

lnx+ 3 lnx

，
∵lnx∈（0，1]，
∴lnx+

3

lnx

≥4，当且仅当lnx=1，即x=e时取等号，
因而f(x)∈(0，

1

4

]．
综上f(x)∈[0，

1

4

]，故a∈[0，

1

4

]．…（14分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的解析式，考查函数与方程的关系，同时考查基本不等式的运用，解题时将函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，转化为f（x）=a在（1，e]上有解是关键．