Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f（x）的极大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，
，即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或．
①当k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
②当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x				-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是和（-1，+∞），单调递减区间是．
③当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和，单调递减区间是．
综上，当k=-2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；当-2＜k＜0时，f（x）的单调递增区间是和（-1，+∞），单调递减区间是；
当k＜-2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和，单调递减区间是．
（Ⅱ） ①当k=-2时，f（x）无极大值．
②当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为，
令，即，解得 k=-1或（舍）．
③当k＜-2时，f（x）的极大值为．
因为 e^k＜e^-2，，所以 ．
因为 ，所以 f（x）的极大值不可能等于3e^-2，
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．
分析：（Ⅰ）求出f'（x））=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），令f'（x）=0，解得：x=-1或．按两根-1，的大小关系分三种情况讨论即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分情况求出函数f（x）的极大值，令其为3e^-2，然后解k即可，注意k的取值范围；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力，属中档题．