Question

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中tanα=

1

3

，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=

3

5

．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？

Answer 1

分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中tanα=

1

3

，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=

3

5

．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；
（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．

解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
∵ON=5a，sinβ=

3

5

，∴sin∠BON=

4

5

，cos∠BON=

3

5

，∴N点的坐标为（3a，4a）．
又射线OA的方程为y=3x，
又B（p，0），∴直线BN的方程为

y-0

4a-0

=

x-p

3a-p

(p≠3a)
∴y=

4a

3a-p

(x-p)，(x≠3a)．…（4分）
当p=3a时，C（3a，9a），S=

1

2

•3a•9a=

27

2

a2．
当p≠3a时，方程组

y=3x y= 4a 3a-p (x-p)

，解为

x= 4ap 3p-5a y= 12ap 3p-5a .

(p＞

5

3

a)

∴点C的坐标为(

4ap

3p-5a

，

12ap

3p-5a

)(p＞

5

3

a)．
∴S=

1

2

•|OB|•|yc|=

1

2

p•

12ap

3p-5a

=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．对p=3a也成立．
∴S=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．…（8分）
（2）由（1）得S=

6ap2

3p-5a

=

2ap2

p- 5 3 a

(p＞

5

3

a)．
令p-

5

3

a=t＞0，∴S=

2a( 5 3 a+t)2

t

=2a(t+

25a2

9t

+

10

3

a)≥

40

3

a2，
当且仅当t=

25a2

9t

，即t=

5a

3

，此时p=

10a

3

，上式取等号，∴当p=

10a

3

Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．