Question

（2012•南充三模）如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AD=b，AA₁=c，其外接球球心为点O，外接球体积为

32

3

π，A、C两点的球面距离为

4

3

π，则

1

a2

+

4

b2

的最小值为

3

4

．

Answer 1

分析：利用长方体三边长求出球半径求出球的半径，通过球面距离求出球心角，通过基本不等式，求出表达式的最小值．

解答：解：∵外接球体积为

32π

3

，∴R=2，
球的直径即为长方体的对角线长，
即2R=

a 2+b 2+c 2

=4，
A、B两点在该球面上的球面距离为

4

3

π，
在等腰三角形OAC中，OA=OC=R=2
球心角∠AOC=

2π

3

，AC=2

3

，
∴a²+b²=12，

1

a2

+

4

b2

=

1

12

×(

1

a2

+

4

b2

)× (a2+b2)
=

1

12

(5+

b2

a2

+

4a2

b2

)
≥

1

12

(5+2

b2 a2 • 4a2 b2

)
=

9

12

=

3

4

．当且仅当b=2a时取等号．
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考查球的性质、球内接多面体、球面距离及基本不等式，是中档题．